Une démonstration de la transcendance d'un nombre réel xi basée sur la méthode de Thue-Siegel-Roth-Schmidt fait intervenir une suite (alpha_n)_{n > 0} de nombres algébriques de degrés bornés ou bien une suite (x_n)_{n > 0} de r-uplets d'entiers. Dans cet article, nous montrons comment une telle démonstration peut généralement produire une mesure de transcendance de xi, pour peu que l'on sache quantifier la croissance des hauteurs des nombres algébriques alpha_n ou des points x_n. La méthode développée repose sur l'utilisation d'énoncés quantitatifs du théorème du sous-espace de Schmidt. Nous appliquons ensuite cette nouvelle approche à certains nombres normaux, aux nombres extrémaux de Roy, ainsi qu'à l'étude des nombres réels de complexité sous-linéaire.